Incompletude de Kurt Gödel

Certa vez, o polímata húngaro John von Neumann (1903-1957) escreveu que Kurt Gödel era absolutamente "único" e pertencia a uma classe especial de pensadores e, ao descrever a prova de 1931 do teorema da incompletude de Gödel, von Neumann chamou o feito de "singular e monumental", e acrescentou, "na verdade, mais do que um monumento, um marco que permanecerá visível para sempre, no espaço e no tempo. O campo da lógica nunca mais será o mesmo.".

Von Neumann indiscutivelmente não estava sozinho em sua admiração por Gödel. O então jovem Alan Turing (1912-1954) procurou por Gödel em 1936 para discutir sua própria reformulação monumental do resultado da incompletude de Gödel, que revelou os limites da prova e da computação. E perto do fim de sua vida, Albert Einstein (1879-1955) confidenciou a Oskar Morgestern (1902-1977) que, embora seu próprio trabalho não significasse mais tanto, ele ia ao Instituto apenas... pelo privilégio de caminhar de volta pra casa com Gödel.

Muitos, se não a maioria dos gigantes matemáticos do século XX, reverenciavam Kurt Gödel. E em 1974, foi agraciado com a Medalha Nacional de Ciência pelo então presidente dos EUA Gerald Ford por, em grande parte sozinho, ter lançado as bases para o florescente estudo da lógica matemática que temos nos dias de hoje.

Kurt Gödel (1906-1978), por Arnold Newman em 1956.

Kurt Gödel nasceu em 28 de abril de 1906, em Brünn, no Império Austro-Húngaro (hoje Brno, República Tcheca), em uma família de classe média. Desde jovem, Gödel demonstrou uma curiosidade excepcional e um talento incomum para as ciências exatas, o que o levou a estudar matemática e física na Universidade de Viena, onde se destacou rapidamente entre seus colegas e professores. 

Foi durante esse período em Viena que ele desenvolveu suas primeiras ideias sobre lógica matemática, culminando na formulação do célebre Teorema da Incompletude, um marco no campo da lógica que revolucionou a matemática. Em meio à sua dedicação acadêmica, Gödel também encontrou tempo para o romance, conhecendo Adelle Porkert, uma dançarina com quem se casaria em 1938. Apesar das diferenças de classe e de personalidade, o relacionamento com Adelle foi uma constante na vida de Gödel, que encontrou nela apoio durante as muitas crises de saúde que enfrentou ao longo de sua vida.

Adele (esposa) e Kurt Gödel em Princeton (Fotografia: Courtesy of IAS Archive)

Teoremas da Incompletude

No final do século XIX, a filosofia do conhecimento era vista como algo praticamente consolidado, e muitos estudiosos acreditavam que poucas descobertas realmente inovadoras restavam a ser feitas. No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o brilhante David Hilbert, influenciado pelas ideias predominantes, apresentou uma lista de 23 problemas que ainda precisavam ser solucionados, acreditando que, uma vez resolvidos, poderiam completar o entendimento da matemática.

Hilbert tinha como objetivo mobilizar a comunidade científica para estabelecer uma base lógica definitiva para a matemática, e em grande parte isso foi alcançado, com várias das questões por ele levantadas sendo resolvidas nos anos seguintes.

No entanto, em 1931, enquanto a proposta de Hilbert para uma construção matemática completa através da lógica formal ainda prevalecia e Hilbert celebrava sua aposentadoria,  Kurt Gödel publicou seu famoso trabalho "Sobre Proposições Indecidíveis", mudando radicalmente o cenário. Na Universidade de Princeton, o respeitado John von Neumann, que também trabalhava na proposta de Hilbert, rapidamente reconheceu a importância dos resultados de Gödel e passou a apoiá-los. 

É interessante o fato de que, nas anotações de Gödel, há somente uma referência cristã - e foi justamente ao provar a incompletude matemática, escreveu "Que Maria, Mãe de Deus, tenha piedade de mim!"

Pode-se afirmar que, neste ponto, os matemáticos perderam seu próprio não, isto é, a matemática não poderia ser usada para provar a própria matemática. Além disso, as próprias hipóteses propostas poderiam ser indemonstráveis, ou mesmo alguns dos 23 problemas de Hilbert podem não ter solução em passos matemáticos bem definidos.

Ao mesmo tempo, na física, a teoria quântica avançava, e em 1927, Heisenberg já havia introduzido seu "Princípio da Incerteza", impondo um limite às observações diretas no mundo microscópico. Esse foi outro golpe nas visões deterministas da ciência.

Posteriormente, Church e Turing mostraram que não há algoritmo capaz de determinar se uma proposição pertence ou não a uma teoria de forma geral.

Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem outros matemáticos haviam exemplificado o conceito de indecidibilidade. Foi então que o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para testar proposições indecidíveis, demonstrando que a hipótese do continuum, uma das questões mais fundamentais da matemática, era de fato indecidível.

Iniciou-se, assim, uma nova era, onde problemas não solucionados se confundem com problemas não solucionáveis, e não há mecanismo efetivo conhecido que permita distinguir um do outro.

E agora?

Esses teoremas, que explicaremos em breve, revelaram uma verdade fundamental sobre a natureza da matemática, uma verdade que a maioria dos matemáticos da época não estava preparada para aceitar.

E antes de adentrarmos no que esses dois teoremas abordam, vamos fornecer algumas definições simples e intuitivas, que são necessárias para entender a beleza dos teoremas logo mais adiante.

Um sistema matemático é um conjunto de elementos básicos (como números), algumas relações/operações entre esses elementos (adição, subtração, etc.), e, por fim, alguns axiomas, ou seja, declarações sobre os elementos e as operações que assumimos como "verdadeiras" sem necessidade de prova (por exemplo, o fato de que a igualdade na aritmética é simétrica: se $x = y$, então $y = x$).

Além disso, diz-se que um sistema matemático é "completo" se podemos provar toda afirmação verdadeira dentro dele.

Icônico retrato de Kurt Gödel, por Arnold Newman em 1956.

Finalmente, um sistema matemático é "consistente" se não podemos provar o oposto de uma afirmação já provada. Por exemplo, se provamos que a soma de dois números ímpares é sempre par, não deveríamos ser capazes de provar que essa soma não é par. É crucial que um sistema matemático seja consistente. Caso contrário, ele se contradiz constantemente (já que toda afirmação verdadeira seria simultaneamente falsa — o leitor curioso pode procurar sobre "O Princípio da Explosão") e, assim, seria inútil para nós.

Por enquanto, isso é tudo que alguém precisa para começar a compreender a ideia por trás do esforços realizados por Gödel. Agora estamos prontos para mergulhar nos dois Teoremas da Incompletude:

• Primeiro Teorema da Incompletude: Todo sistema matemático, poderoso o suficiente para descrever a computação, é incompleto ou inconsistente.
• Segundo Teorema da Incompletude: Um sistema matemático consistente não pode provar sua própria consistência.

Em primeiro lugar, o termo “poderoso o suficiente para descrever computação” — ou “suficientemente expressivo”, como às vezes é chamado — não deve nos assustar. Em termos gerais, a maioria dos sistemas matemáticos com os quais nós, que não somos matemáticos por formação, nos preocupamos, possui essa propriedade. Não vamos nos aprofundar nisso, pois não é essencial para nossa compreensão.

Com essa observação em mente, o primeiro dos dois teoremas nos diz que todo sistema disponível para nós é ou incompleto ou inconsistente. Isso significa que ou existem afirmações verdadeiras em nosso sistema que nunca seremos capazes de provar, ou o nosso sistema se contradiz (é inconsistente). Como dissemos antes, não queremos que nossos sistemas sejam inconsistentes, então só nos resta esperar que eles sejam incompletos. O uso da palavra “esperar” na frase anterior não é por acaso. Gostaríamos de ter uma maneira de provar que nosso sistema é de fato incompleto e não inconsistente, mas aí entra o segundo teorema de Gödel, que nos priva dessa possibilidade.

Por outro lado, como ainda não nos deparamos com nenhuma inconsistência, tomamos praticamente como certo que nossos sistemas são consistentes, mas incompletos. Vamos refletir por um momento sobre o que isso implica.

O que acabamos de admitir é que existem algumas verdades fundamentais e profundas sobre a matemática e o nosso universo, de modo geral, que nunca seremos capazes de descobrir. A realidade não é “logicamente incompleta”. Nós simplesmente ainda não temos as ferramentas certas para compreendê-la plenamente. Não é uma questão de inteligência ou habilidade matemática. Não estamos esperando que o próximo Euler ou Gauss venha nos salvar. Simplesmente, isso não é possível. Uma recomendação bastante comum de alguém que ouve essa revelação pela primeira vez é adicionar as afirmações “não demonstráveis” como axiomas em nossos sistemas. No entanto, isso não adianta, pois ao adicionar mais axiomas, criamos um novo sistema matemático que ainda estará sujeito aos dois Teoremas da Incompletude. Não há como escapar.

As implicações filosóficas dos Teoremas da Incompletude são enormes. Pelo que sabemos, não há outro teorema na matemática que possa se igualar à comoção causada pelo trabalho de Gödel quando foi publicado pela primeira vez. Matemáticos que haviam dedicado toda a vida em busca de uma prova para certas afirmações matemáticas agora se deparavam com a possibilidade de que todo o seu trabalho tivesse sido em vão. Uma pergunta constantemente surgia na mente de cada matemático ao decidir se valia a pena enfrentar um novo problema: "E se ele não puder ser provado?".

Kurt Gödel é considerado por muitas pessoas um dos maiores lógicos que já existiram e descrito também como o mais importante filósofo desde Aristóteles. Como já mencionamos diversas vezes, suas contribuições para a matemática são inestimáveis. No entanto, o processo de pensamento e a filosofia de Gödel eram muito mais complexos do que o que se pode deduzir apenas por suas conquistas matemáticas. Ele era um radical platônico e racionalista, com algumas crenças metafísicas, de certo modo, controversas.

Platonismo e Racionalismo Matemático

A matemática é uma manifestação refinada do pensamento humano. Ela representa a capacidade dos seres humanos de produzir pensamentos lógicos e conexões sobre objetos e entidades abstratas. Além disso, a matemática constitui uma ponte que os humanos construíram entre os fenômenos misteriosos e complicados do nosso mundo físico e o conhecimento humano. É surpreendente, ao se pensar nisso, que a própria ferramenta que nos permite compreender o mundo físico tenha uma natureza abstrata.

Considerando a importância da matemática para a evolução da história e da civilização humanas, não deve ser surpreendente que ela sempre tenha desempenhado um papel primordial no desenvolvimento da filosofia. Uma das visões filosóficas mais interessantes sobre a própria essência da matemática é chamada de Platonismo Matemático.

"O platonismo sobre a matemática (ou platonismo matemático) é a visão metafísica de que existem objetos matemáticos abstratos cuja existência é independente de nós e de nossa linguagem, pensamento e práticas. Assim como elétrons e planetas existem independentemente de nós, os números e os conjuntos também existem. E, da mesma forma que as afirmações sobre elétrons e planetas são consideradas verdadeiras ou falsas com base nos objetos aos quais se referem e nas propriedades perfeitamente objetivas desses objetos, o mesmo se aplica às afirmações sobre números e conjuntos. Portanto, as verdades matemáticas são descobertas, não inventadas." - Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Além disso, pode-se observar ainda que o platonismo matemático geralmente anda de mãos dadas com outra doutrina filosófica, o racionalismo.

"O racionalismo é a visão filosófica de que o intelecto e a razão são as verdadeiras fontes do conhecimento absoluto."

De acordo com o Racionalismo, adquirimos informações apenas por meio da lógica e da razão. Essa visão se opõe ao Empirismo, que afirma que o conhecimento vem de nossos sentidos e exclusivamente deles. E, embora, geralmente considerado incorreto, podemos pensar no Platonismo Matemático como uma forma de racionalismo radical e mais extremo, mas que não se limita a uma simples continuidade das ideias dessa corrente filosófica. 

Veja que, conforme evidenciado pelo livro de Hao Wang, “A Logical Journey: from Gödel to Philosophy”, por volta do ano de 1960, Gödel elaborou uma lista com 14 pontos filosóficos nos quais acreditava. Não examinaremos cada um desses pontos neste artigo. Em vez disso, focaremos nos que são mais indicativos de sua filosofia. A lista completa de Gödel é apresentada abaixo:

1. O mundo é racional;
2. A razão humana pode, em princípio, ser desenvolvida de maneira mais elevada (por meio de certas técnicas);
3. Existem métodos sistemáticos para a solução de todos os problemas (incluindo a arte, entre outros);
4. Existem outros mundos e seres racionais de diferentes e superiores naturezas;
5. O mundo em que vivemos não é o único em que viveremos ou já vivemos;
6. Há incomensuravelmente mais conhecimento a priori do que o que atualmente se conhece;
7. O desenvolvimento do pensamento humano desde a Renascença é completamente compreensível;
8. A razão na humanidade se desenvolverá em todas as direções;
9. Direitos formais constituem uma ciência real;
10. Materialismo é falso;
11. Os seres superiores estão conectados aos demais por analogia, e não por composição;
12. Conceitos têm uma existência objetiva;
13. Existe uma filosofia e uma teologia científicas (exatas), que lidam com conceitos de alta abstração; e isso também é extremamente frutífero para ciência;
14. As religiões, na maioria das vezes, são ruins - mas a religião em si não é.

Antes de analisarmos alguns dos pontos mencionados, é importante observar que a lista acima não foi elaborada com a intenção de publicação. Portanto, é justo afirmar que esses 14 pontos não capturam totalmente a filosofia de Gödel. Além disso, todos os conceitos são passíveis de interpretação. A seguir, apresentaremos algumas especulações fundamentadas que derivam da vida e do caráter de Gödel.

Esquerda: Einstein e Gödel no Instituto de Estudos Avançados, foto tirada por Oskar Morgenstern. À direita: Morgenstern e Gödel, fotografia provavelmente tirada por Albert Einstein (Fotografias: Courtesy of IAS Archive)

3. Existem métodos sistemáticos para a solução de todos os problemas (incluindo a arte, entre outros) -A frase citada parece contradizer os dois Teoremas de Incompletude que analisamos anteriormente. Como pode o criador desses teoremas, o homem que demonstro que a matemática possui limites inerentes, Kurt Gödel, acreditar que todos os problemas podem ser resolvidos? Assim como toda a lista, essa crença está aberta à interpretação, mas parece que pode apontar em duas direções.

Primeiro, Gödel pode ter acreditado que a matemática pode ser, de alguma forma sem precedentes, desenvolvida além do que é hoje; ou ele estava procurando sugerir que existe um modo melhor, superior à matemática a qual conhecemos, para abordar e resolver problemas.

4. Existem outros mundos e seres racionais de diferentes e superiores naturezas - A afirmação, em conjunto com a primeira da lista, "1. O mundo é racional", revela claramente a filosofia que Gödel adotou em relação à matemática e ao mundo de maneira geral. Quando menciona "mundos" e "seres racionais", ele provavelmente não está se referindo a entidades físicas materiais. Em vez disso, como um platônico, ele sugere que existem certos seres "abstratos" que existem apenas na esfera lógica e da razão, e não em um mundo físico como o nosso.

5. O mundo em que vivemos não é o único em que viveremos ou já vivemos - A partir daqui, as coisas se tornam mais complexas. Entre as ideias de Gödel está a sua crença na reencarnação (ou "transmigração") da alma. Existe um debate no mundo filosófico sobre a possibilidade de Platão ter sido um defensor da reencarnação. Um dos argumentos mais citados no debate é que Platão, em sua teoria das Formas, acreditava que as pessoas já tiveram contato com essas Formas em uma vida anterior e, portanto, conseguem se lembrar delas.

11. Os seres superiores estão conectados aos demais por analogia, e não por composição - Neste ponto, Gödel amplia seu quarto item da lista. Começa por descrever algumas propriedades das entidades que habitam seu mundo abstrato e metafísico. Ao afirmar que "os seres superiores estão conectados aos outros por analogia", ele afirma que o conceito de "absoluto" não se aplica ao seu mundo. Conceitos verdadeiramente abstratos são definidos em relação a outros conceitos abstratos. Para facilitar a compreensão, vamos usar o exemplo a seguir. 

Considere o número "4". Como você pode definir essa entidade? Lembre-se que estamos tratando o número "4" como um conceito abstrato e não físico. Um modo de abordá-lo, segundo Gödel, é expor algumas de suas "propriedades" em relação a outros números, como por exemplo - ele é maior que 3, mas menor que 5 - ou - ele é metade do número 8. Assim como os números, Gödel afirma que todas as entidades superiores no mundo são definidas por analogia.

"Vim ao Instituto apenas... para ter o privilégio de caminhar na volta pra casa com Gödel." — Albert Einstein

Einstein e Gödel em Princeton (Fotografia: Courtesy of the IAS Archive)

Considerações Finais

Observe que a lista de Gödel não foi feita para publicação e, portanto, é subjetiva em certo grau e provavelmente não apresenta o quadro completo da filosofia de Gödel. Assim, não analisaremos mais nenhum dos pontos da lista, mas incentivamos fortemente o leitor a estudá-la e refletir sobre as razões que levaram um dos maiores matemáticos do mundo, descrito como o mais importante filósofo depois de Aristóteles, Kurt Gödel, a ter crenças metafísicas tão fortes.