Para tanto, note que a teoria da Relatividade parte de dois postulados fundamentais, os quais, inclusive, um deles corrige alguns conceitos da teoria de Newton-Galileu. A exemplo, o postulado de que a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para todos os referenciais inerciais independentemente do movimento da fonte, o qual é, portanto, incoerente com a fórmula de adição das velocidades de Galileu e, consequentemente, incabível, neste caso, a possibilidade de "igualar" os resultados obtidos em ambas as teorias.
Para comprovar tal fato, basta considerar por exemplo o seguinte caso: sejam \(\sum'\) e \(\sum\) dois referenciais inerciais (vagão e solo, respectivamente). Além disso, digamos que o vagão se move com uma velocidade u em relação ao solo, fixo. Suponha, inclusive, que um relógio imóvel no sistema \(\sum\) registrou um determinado intervalo de tempo \(\Delta{t}\) de \(t_{1}\) a \(t_{2}\), isto é,
\[\Delta{t} = t_{2} - t_{1}\]
Para determinarmos o valor \(t'_{1}\) correspondente a \(t_{1}\), e de modo similar, o valor de \(t'_{2}\) correspondente a \(t_{2}\), devemos, pois, de acordo com a Teoria da Relatividade Restrita utilizar as seguintes Transformações de Lorentz
\begin{equation} \begin{split} t_{1} &= \frac{\displaystyle\frac{u}{c^{2}}x'_{1} + t'_{1}}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\\ t_{2} &= \frac{\displaystyle\frac{u}{c^{2}}x'_{1} + t'_{2}}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\\ \end{split} \end{equation}
Das quais resulta
\begin{equation} \begin{split} \Delta{t} = t_{2} - t_{1} = \frac{\displaystyle\frac{u}{c^{2}}x'_{1} + t'_{2}}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\displaystyle\frac{u}{c^{2}}x'_{1} + t'_{1}}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{t'_{2} - t'_{1}}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\Delta{t}'}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\\ \end{split} \end{equation}
Observe que \(\Delta{t}' = t'_{2} - t'_{1}\) é o intervalo de tempo transcorrido no sistema \(\sum'\), enquanto que \(\Delta{t}\) é o intervalo de tempo entre \(t_{1}\) e \(t_{2}\) transcorrido no sistema \(\sum\). Dessa forma,
\begin{equation} \Delta{t}' = \Delta{t}\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}} \end{equation}
isto é,
\begin{equation} \Delta{t}' < \Delta{t} \end{equation}
O resultado acima mostra que, no sistema \(\sum'\), o tempo passa ``mais lentamente'' do que no próprio sistema \(\sum\).
E, antes de verificarmos a importância do resultado acima entre as teorias, veja que tal fato também pode ser entendido graficamente da seguinte forma. Considere a seguinte hipérbole descrita pela equação
\[x^{2} - c^{2}t^{2} = -c^{2}\Delta{t}^{2}\]
Seja A o ponto de interseção da hipérbole acima com o eixo \(Ot\). Assim sendo, a distância temporal da hipérbole até o ponto \(O\), isto é, o tempo transcorrido do evento \(O\) até o evento \(A\), é igual a \(\Delta{t}\) no sistema \(\sum\). Uma vez que \(AA'\) é paralelo ao eixo \(Ox\), os eventos \(A\) e \(A'\) são simultâneos no sistema \(\sum\). Entretanto, no sistema \(\sum'\), o tempo decorrido entre \(O\) e \(A'\) é igual a \(OA'\). Logo, \(OB\) é menor ou igual a \(T\).
A partir dos resultados acima, podemos notar dois fatos curiosos.
Primeiro, a imutabilidade do tempo descrita por Newton parece incoerente diante da Teoria da Relatividade Restrita. Afinal, o próprio Newton descreveu o tempo, em seu famoso tratado Principia, da seguinte forma:
"[...] Tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si só, e da sua própria natureza flui uniformemente, sem relação com qualquer coisa externa, e por outro nome, chamado duração [...]"
Veja que notadamente a introdução de tempo absoluto dada por Newton entra em contradição com o resultado matemático obtido logo acima, afinal, tal resultado permite concluir que o tempo depende do estado de movimento do observador em relação a algum referencial.
Segundo, para velocidades \(u << c\), o atraso entre os relógios é muito pequeno, se comparado com o que pode ser realmente observado com os instrumentos atuais.
Portanto, propor que ambas as velocidades devam concordar exatamente entre si, é como propor que o tempo descrito por Einstein é o mesmo descrito por Newton. Em outras palavras, é propor que a constante \(\pi\) deva ser exatamente \(3,14159265359\), onde, aquele é irracional e este é racional, ambos conceitualmente distintos.
Adição de Velocidades Não-Paralelas
Vejamos agora, como calcular a resultante da composição de duas velocidades através da Teoria da Relatividade Restrita, sabendo que tal teoria está intimamente ligada com o modelo matemático do espaço de Minkowski (Pseudo-Euclidiano).
Dessa forma, de modo similar às proposições acima, sejam \(\sum''\), \(\sum'\) e \(\sum\) três referenciais inerciais (observador, vagão e solo, respectivamente), os quais seus eixos são parelelos e em susseção direta (forma padrão), assim caracterizado na situação proposta. Seja \(\vec{v}\) a velocidade de um observador móvel \(\sum''\) no referencial inercial \(\sum'\), enquanto que a velocidade de \(\sum'\) no referencial \(\sum\) é \(\vec{u}\).
Assim sendo, o problema proposto é encontrar qual a velocidade \(v\) do referencial \(\sum''\) no referencial \(\sum\). Assim sendo, indiquemos por \(w\) tal velocidade e calculemos suas componentes.
Para tanto, conhecendo-se a transformação de Lorentz inversa na configuração padrão, as equações das diferenciais \(dx_{1}\), \(dx_{2}\), \(dx_{3}\) e \(dt\) são dadas por
\begin{equation} \begin{split} dx_{1} &= \gamma_{u} (dx'_{1} + u dt')\\ dx_{2} &= dx'_{2}\\ dx_{3} &= dx'_{3}\\ dt &= \gamma_{u} \left(dt' + \frac{u}{c^{2}} dx'_{1}\right){}\\ \end{split} \end{equation}
onde o fator de Lorentz é dado por \(\gamma_{u} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\). Observe que as coordenadas perpendiculares à direção do movimento relativo não mudam, por outro lado, a coordenada paralela e o tempo são transformados. Note que esse fato difere do da transformação de Galileu.
Assim, dividindo-se as três primeiras expressões pela quarta expressão, obtemos que
\begin{equation} \begin{split} \frac{dx_{1}}{dt} &= \frac{\gamma_{u} (dx'_{1} + u dt')}{\gamma_{u} \left(dt' + \displaystyle\frac{u}{c^{2}} dx'_{1}\right)} = \frac{dx'_{1} + udt'}{dt'\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}\frac{dx'_{1}}{dt'} \right)} = \frac{\displaystyle\frac{dx'_{1}}{dt'} + \displaystyle u\frac{dt'}{dt'}}{\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}} \right)}\\ \frac{dx_{2}}{dt} &= \frac{dx'_{2}}{\gamma_{u} \left(dt' + \displaystyle\frac{u}{c^{2}} dx'_{1}\right)} = \frac{dx'_{2}}{dt'\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}\frac{dx'_{1}}{dt'} \right)\gamma_{u}} = \frac{\displaystyle\frac{dx'_{2}}{dt'}}{\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}} \right)\gamma_{u}}\\ \frac{dx_{3}}{dt} &= \frac{dx'_{3}}{\gamma_{u} \left(dt' + \displaystyle\frac{u}{c^{2}} dx'_{1}\right)} = \frac{dx'_{3}}{dt'\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}\frac{dx'_{1}}{dt'} \right)\gamma_{u}} = \frac{\displaystyle\frac{dx'_{3}}{dt'}}{\left(1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}} \right)\gamma_{u}}\\ \end{split} \end{equation}
isto é,
\begin{equation} \begin{split} w_{x_{1}} &= \displaystyle\frac{v_{x'_{1}} + u}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\\ w_{x_{2}} &= \displaystyle\frac{v_{x'_{2}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\\ w_{x_{3}} &= \displaystyle\frac{v_{x'_{3}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\\ \end{split} \end{equation}
Observe que \(w_{x_{2}}/v_{x'_{2}} = w_{x_{3}}/v_{x'_{3}}\) e, portanto, os azimutes nos dois sistemas são iguais.
Além disso, considerando-se que ambas as velocidades estão dispostas num mesmo plano \(x_{1}\textrm{-}x_{2}\), tem-se que \(w_{x_{1}} = w\cos{\theta}\), \(w_{w_{2}} = w\sin{\theta}\), \(v_{x'_{1}} = v\cos{\theta'}\) e \(v_{x'_{2}} = v\sin{\theta'}\). Portanto, o módulo da velocidade \(\vec{w}\) é dada por
\begin{equation} \begin{split} w & = \sqrt{w_{x_{1}}^{2} + w_{x_{2}}^{2}}\\ & = \sqrt{\left(\displaystyle\frac{v_{x'_{1}} + u}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\right)^{2} + \left(\displaystyle\frac{v_{x'_{2}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}\\ & = \frac{\sqrt{(v_{x'_{1}} + u)^{2} + \left(v_{x'_{2}}\displaystyle\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v_{x'_{1}}}\\ & = \frac{\sqrt{(v\cos{\theta'} + u)^{2} + \left(v\sin{\theta'}\displaystyle\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v\cos{\theta'}}\\ & = \frac{\displaystyle\sqrt{v^{2}\cos^{2}{\theta'} + u^{2} + 2uv\cos{\theta'} + v^{2}\sin^{2}{\theta'} - \displaystyle\frac{u^{2}}{c^{2}}v^{2}\sin^{2}{\theta'}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v\cos{\theta'}}\\ & = \frac{\displaystyle\sqrt{v^{2}(\cos^{2}{\theta'} + \sin^{2}{\theta'}) + u^{2} + 2uv\cos{\theta'} - \left(\displaystyle\frac{uv}{c}\sin{\theta'}\right)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{u}{c^{2}}v\cos{\theta'}}\\ & = \frac{\displaystyle\sqrt{v^{2} + u^{2} + 2uv\cos{\theta'} - \left(\displaystyle\frac{uv}{c}\sin{\theta'}\right)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{uv}{c^{2}}\cos{\theta'}}\\ \end{split} \end{equation}
Observe que considerando-se \(\theta' = 0º\). Temos que,
\begin{equation} \begin{split} w &= \frac{\displaystyle\sqrt{v^{2} + u^{2} + 2uv\cos{0º} - \left(\displaystyle\frac{uv}{c}\sin{0º}\right)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{uv}{c^{2}}\cos{0º}}\\ &=\frac{\displaystyle\sqrt{v^{2} + u^{2} + 2uv}}{1 + \displaystyle\frac{uv}{c^{2}}}\\ &=\frac{\displaystyle\sqrt{(v + u)^{2}}}{1 + \displaystyle\frac{uv}{c^{2}}}\\ &=\frac{v + u}{1 + \displaystyle\frac{uv}{c^{2}}}\\ \end{split} \end{equation}
Note que o resultado acima concorda com a expressão utilizada por Einstein para encontrar a velocidade do referido observador relativamente ao solo. ■
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